科技改變生活 · 科技引領未來
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周蒙問了我兩道題
前言：本文作者是龍盤湖國際學校許莎老師，曾經的一位學生，現就讀重點高中，跑回來問了許老師兩道高中數學題，以這兩道題的解讀為例，展現研題的部分過程，原文如下：
周蒙現在在夷陵，以前我在六班替老王上過一節課，他們就認識了我，然后今年過年來問了我兩道題。
1.棱長為4的正方體有蓋容器內放入兩個體積相同的金屬小球（蓋子能夠閉合），則小球半徑的最大值為（ ）
A. 4-2√2 B.2√6-2√3 C.1 D.3-√3
關于這個題，我的第一反應是，他不會畫圖，所以不會計算。尤其是球不會畫，球在立體圖形中不好畫。然后我自己想了一下，我的疑惑是，這兩個球的球心連線會不會在正方體的體對角線上呢？其實我自己也不太好想象這個圖的平面圖像是什么樣。于是我找了兩個健身球和一個盒子擺了一下。
我發現當盒子為長方體的時候球心連線肯定不在體對角線上。那么當盒子為正方體時，球心連線會不會在體對角線上呢？
網友的答案是這樣的，當然沒有畫圖，因為不好畫。只是用文字進行了敘述。
寫出詳細的證明過程來。
回答：兩球與正方體內切說明兩球的圓心分別到切面的距離相等（為圓的半徑）正方體體對角線上的點到最近的三個面的距離相等（當點是體心時，到六個面距離都相等）所以兩個球的球心在體對角線上。
根據網友的回答，我畫出了這樣的圖來進行證明。
過P點作面A’B’C’D’的垂線P’G，作面AA’B’B的垂線PE，作面BB’C’C的垂線PF
∵P在BD’上
∴P’在D’B’上
∵D’B’為∠A’B’C’的角平分線
∴P’E=P’F’
∴PE=PF
∵PG∥DD’
∴PG:DD&39;=BG:BD
∵BD=√2DD&39;
∴BG=√2PG=PH=√2PF
∴PG=PF
∴PG=PF=PE
∴點P為球心
∴與正方體三個面內切的球心都在體對角線上
于是這個題就很好畫出正方體對角面上的平面圖，從而開始計算。
在畫圖的過程中，我第一次犯了一個錯誤。
我把圖畫成了這樣，根據勾股定理，列出方程為：
r2-(4√2+4)r+12=0
這個方程解出來沒有選項的結果。但是看這個圖好像沒有
表達上的錯誤。于是我覺得肯定是我的圖畫錯了。
錯誤在哪呢？這個圖看上去也挺科學的啊。
于是我又仔細看了一下第一個實物圖。
發現了問題的所在，原來我這個平面圖畫的是實物圖
的俯視圖，而從對角面看過去，圓的左右與側棱是沒有
相切的。這也是同學們容易犯的錯誤，直觀圖變平面圖
很容易被我們所看見的迷惑。
經過修改，我畫出了正確的平面圖像。
∵△O1O2M∽△BD’D
∴
∴
∴
在我的不懈努力下終于把對角面圖畫出來了~
學生肯定無法在紙上畫出立體圖形，那么我們
就必須讓學生先從實物觀察入手，然后通過抽象思維
建立模型，把立體圖形轉化為平面圖形。
因此我認為，幾何學習，尤其是立體幾何的學習，
動手操作和實際觀察是非常重要的。
數學建模應該是：實際→數學模型→實際
而不是沒有任何感知就讓學生把圖畫出來進行計算。
后面兩幅圖是我使出了洪荒之力才畫出來的~
太棒了~
希望所有的同學們能夠有認知能力和畫圖能力，
PS：用斜二側畫法才是最好看的！
所以在七年級學習立體圖形的時候就要貫徹斜二側畫法
只有斜二側畫法才能最有立體感且不會讓有的線被擋住。
2.已知函數
，若
與
的圖像有4個不同的交點，則實數k的取值范圍是 。
這個題目典型的數形結合思想，要畫函數圖像，他說他不會畫第二個函數的圖像，這個是典型的冪函數和對數函數乘積的形式的圖像。在沒有學導數之前，沒有辦法通過導函數的正負來確定原函數的增減性。那么我們可以通過一些直觀的判斷來大致確定函數圖像。
由觀察得當x=0的時候，帶入第1式得f(x)=0,那么當x=0時，帶入第2式，也是可以得到f(x)=0的。有的同學就會說，第2個式子取不到0啊，事實上，這只是為了定義域表示的不重復，我們知道lnx的x為0的時候，函數值是趨近于負無窮大的，那么2xlnx在x=0的時候，它的值也是為0的。所以說f(x)也是一個在全體實數上連續的函數。因此我們能很快的知道當x>0時在x=1的時候f(1)=0。所以說函數的兩個零點之間一定是先遞減再遞增，因為當x在(0,1)之間時f(x)<0。這樣我們就可以大致畫出函數圖像了。
對于一般函數函數的圖像的畫法，除了求導，因為求導比較耗時，有時候有的求導了之后也無法計算，所以我們需要有能夠對基本函數的圖像有大致推斷的能力。這在必修1學習完第2章就應該具備這樣的能力。然而大多數同學把基本初等函數的圖像當做一個一個孤立的內容去學習，沒有找到他們之間的聯系。所以感覺做函數的題目舉步維艱，無法判斷單調性。所以就會有畏難情緒。大多數時候，我們的恐懼是來自于那些對未知事物的不確定性。對于函數圖像的不確定性就是學習函數的最大障礙。
下面我們來一起總結一下如何推斷一些常見的函數的圖像情況。
這個函數是我們學過的對勾函數，是一個雙曲線，也叫“耐克函數”。
這是以x=0和y=x為漸近線的一組雙曲線，有最值，無零點。
，如果把對勾函數的中間改成-號，圖像會變成什么樣呢，很顯然，這個函數就會有兩個零點。分別為1或-1。當x>0時，x當然是趨近于+∞，1/x是趨近于+0，因此，x-1/x是趨近于+∞。當x趨近于+0的時候，1/x趨近于+∞，那么就說明x-1/x=0-(+∞)，因此，x-1/x趨近于-∞。那么我們就可以判斷出，當x>0時，函數是由-∞遞增到+∞，當x=1時有一個零點。而f(x)為奇函數，因此當x<0時，函數單調遞減，當x=-1時有一個零點。這樣我們就畫出了f(x)的圖像。
所以我們總結一下推斷函數圖像的方法：
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陳書華