科技改變生活 · 科技引領(lǐng)未來
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我們的數(shù)學(xué)課本給出了常用函數(shù)求導(dǎo)的數(shù)學(xué)過程和結(jié)果，但其過程包含的優(yōu)美的數(shù)學(xué)規(guī)律卻很少體現(xiàn)，本篇我們就以指數(shù)函數(shù)為例來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美
如下是一個有關(guān)2為底的指數(shù)函數(shù)：2^t，我們在這里研究下它的導(dǎo)數(shù)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律
根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)原理，2^t的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式就是
以及2^t導(dǎo)數(shù)所表示的切線斜率就是
我們將2^(t+dt)進(jìn)行整合，如下圖可以分拆為2^t 和2^dt
我們將2^t提取出來，如下圖，我們現(xiàn)在要解決的就是等式右邊括號內(nèi)的式子
這是本篇的重點，我們假設(shè)dt=0.001，那么其結(jié)果等于
我們將上述dt繼續(xù)縮小100倍，其結(jié)果仍是0.693……那么這個值是不是一個常數(shù)呢？
為了驗證我們的猜測，我們繼續(xù)將上述dt縮小1000倍，結(jié)果仍然是0.693……只是不斷地趨于一個常數(shù)
所以我們可以肯定2^t的導(dǎo)數(shù)就是2^t乘以一個常數(shù)，這是所有指數(shù)函數(shù)都有的特性
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張陽林