函數(shù)的奇偶性口訣(對稱性口訣順口溜)

對稱點的坐標：　　對稱點坐標要記牢，相反數(shù)位置莫混淆，　　x軸對稱y相反，y軸對稱x相反；　　原點對稱最好記，橫縱坐標全變號1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1 若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)2 若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當a＝0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義2、 若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對稱（或關(guān)于點（a，0）中心對稱）3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關(guān)于直線x＝（b－a）/2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點（（b－a）/2，0）中心對稱推論1、 復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對稱推論2、 復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點中心對稱

復(fù)合函數(shù)奇偶性口訣：外奇內(nèi)奇為奇，外奇內(nèi)偶為偶，外偶內(nèi)奇為偶，外偶內(nèi)偶為偶。判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性：記F(x)=f——復(fù)合函數(shù)，則F(-x)=f，如果g(x)是奇函數(shù)，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f，則當f(x)是奇函數(shù)時，F(xiàn)(-x)=-f=-F(x)，F(xiàn)(x)是奇函數(shù)；當f(x)是偶函數(shù)時，F(xiàn)(-x)=f=F(x)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)。如果g(x)是偶函數(shù)，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f=F(x)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)。所以由兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，當里層的函數(shù)是偶函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)的偶函數(shù)，不論外層是怎樣的函數(shù)；當里層的函數(shù)是奇函數(shù)、外層的函數(shù)也是奇函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)，當里層的函數(shù)是奇函數(shù)、外層的函數(shù)是偶函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)是偶函數(shù)。

兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)：x0dF(-x)=f(-x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=F(x)x0d兩個偶函數(shù)的乘積是偶數(shù)：x0dF(-x)=f(-x).g(-x)==f(x).g(x)=F(x)x0d奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù)：x0dF(-x)=f(-x).g(-x)=[...

1.判斷口訣：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇看外2.說明：對于一個給定的復(fù)合函數(shù)，在判斷其奇偶性時，判斷最內(nèi)層的函數(shù)的奇偶性，⒈若最內(nèi)層為偶函數(shù)，則該復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù);⒉若最內(nèi)層為奇函數(shù)，則再判斷外層函數(shù)的奇偶性，該復(fù)合函數(shù)的奇偶性與外層函數(shù)奇偶性相同。注：復(fù)合函數(shù)是函數(shù)套函數(shù)，并不是只有兩個函數(shù)嵌套，它可以是多個函數(shù)套在一起。故此時判斷函數(shù)的奇偶性時，只需從最內(nèi)層函數(shù)開始，遵循上述方法，由內(nèi)而外，一層層判斷，直至最外層結(jié)束。