科技改變生活 · 科技引領(lǐng)未來
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⒈y=c（c為常數(shù)） y'=0
⒉y=x^n y'=nx^（n-1）
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
⒋y=logax（a為底數(shù)，x為真數(shù)） y'=1/x*lna
y=lnx y'=1/x
⒌y=sinx y'=cosx
⒍y=cosx y'=-sinx
⒎y=tanx y'=1/（cosx）^2
⒏y=cotx y'=-1/sin^2x
⒐y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）
⒑y=arccosx y'=-1/√（1-x^2）
⒒y=arctanx y'=1/（1+x^2）
⒓y=arccotx y'=-1/（1+x^2）
⒔y(tǒng)=u^v ==> y'=v' * u^v * lnu + u' * u^（v-1） * v
引用的常用公式：
在推導(dǎo)的過程中有這幾個(gè)常見的公式需要用到：
⒈y=f[g（x）],y'=f'[g（x）]·g'（x）【f'{g（x）}中g(shù)（x）看作整個(gè)變量，而g'（x）中把x看作變量】
⒉y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2
⒊y=f（x）的反函數(shù)是x=g（y），則有y'=1/x'
1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函數(shù)差與自變量差的商在自變量差趨于0時(shí)的極限，就是導(dǎo)數(shù)的定義。其它所有基本求導(dǎo)公式都是由這個(gè)公式引出來的。包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，一共有如下求導(dǎo)公式：
2、f(x)=a的導(dǎo)數(shù)， f'(x)=0, a為常數(shù). 即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0；這個(gè)導(dǎo)數(shù)其實(shí)是一個(gè)特殊的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。就是當(dāng)冪函數(shù)的指數(shù)等于1的時(shí)候的導(dǎo)數(shù)。可以根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求得。
3、f(x)=x^n的導(dǎo)數(shù)， f'(x)=nx^(n-1), n為正整數(shù). 即系數(shù)為1的單項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)，以指數(shù)為系數(shù)， 指數(shù)減1為指數(shù). 這是冪函數(shù)的指數(shù)為正整數(shù)的求導(dǎo)公式。
4、f(x)=x^a的導(dǎo)數(shù)， f'(x)=ax^(a-1), a為實(shí)數(shù). 即冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以指數(shù)為系數(shù)，指數(shù)減1為指數(shù).
5、f(x)=a^x的導(dǎo)數(shù)， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于1. 即指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)與底數(shù)的自然對(duì)數(shù)的積.
6、f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)， f'(x)=e^x. 即以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù).
7、f(x)=log_a x的導(dǎo)數(shù)， f'(x)=1/(xlna), a>0且a不等于1. 即對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于1/x與底數(shù)的自然對(duì)數(shù)的倒數(shù)的積.
8、f(x)=lnx的導(dǎo)數(shù)， f'(x)=1/x. 即自然對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于1/x.
9、(sinx)'=cosx. 即正弦的導(dǎo)數(shù)是余弦.
10、(cosx)'=-sinx. 即余弦的導(dǎo)數(shù)是正弦的相反數(shù).
11、(tanx)'=(secx)^2. 即正切的導(dǎo)數(shù)是正割的平方.
12、(cotx)'=-(cscx)^2. 即余切的導(dǎo)數(shù)是余割平方的相反數(shù).
13、(secx)'=secxtanx. 即正割的導(dǎo)數(shù)是正割和正切的積.
14、(cscx)'=-cscxcotx. 即余割的導(dǎo)數(shù)是余割和余切的積的相反數(shù).
15、(arcsinx)'=1/根號(hào)(1-x^2).
16、(arccosx)'=-1/根號(hào)(1-x^2).
17、(arctanx)'=1/(1+x^2).
18、(arccotx)'=-1/(1+x^2).
最后是利用四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則以及反函數(shù)的求導(dǎo)法則，就可以實(shí)現(xiàn)求所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)f,g是可導(dǎo)的函數(shù)，則：
19、(f+g)'=f'+g'. 即和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和。
20、(f-g)'=f'-g'. 即差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的差
21、(fg)'=f'g+fg'. 即積的導(dǎo)數(shù)等于各因式的導(dǎo)數(shù)與其它函數(shù)的積，再求和。
22、(f/g)'=(f'g-fg')/g^2. 即商的導(dǎo)數(shù)，取除函數(shù)的平方為除式。被除函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與除函數(shù)的積減去被除函數(shù)與除函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積的差為被除式。
23、(1/f)'=-f'/f^2. 即函數(shù)倒數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)除以函數(shù)的平方的相反數(shù)。
24、(f^(-1)(x))'=1/f'(y). 即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，注意變量的轉(zhuǎn)換。
答：導(dǎo)數(shù)定義公式：
f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(h)]/h；lim(h→0)[f(0+h)-f(0-h)]/2h=2lim(h→0)[f(0-h+2h)-f(0-h)]/2h=lim(h->0)2f'(0-h)當(dāng)f'(x)在x=0處連續(xù)才有l(wèi)im(h->0)2f'(0-h)=2f'(0)。
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量
和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線
斜率。
導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度
。
一階導(dǎo)數(shù)
的三點(diǎn)公式：f’(x0)=1/2h(-3f(x0)+4f(x1)-f(x2))
補(bǔ)充：
1、一階導(dǎo)數(shù)：
一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。當(dāng)函數(shù)f的自變量
在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量h時(shí)，函數(shù)輸出值的增量與自變量增量h的比值在h趨于0時(shí)的極限如果存在，即為f在x0處的導(dǎo)數(shù)。
一階導(dǎo)數(shù)表示的是函數(shù)的變化率，最直觀的表現(xiàn)就在于函數(shù)的單調(diào)性定理：設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b)內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，那么：
（1）若在(a，b)內(nèi)f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調(diào)遞增；
（2）若在(a，b)內(nèi)f’(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調(diào)遞減；
（3）若在(a，b)內(nèi)f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行（或重合）于x軸的直線，即在[a,b]上為常數(shù)。
2、f(x)在x=a處的泰勒公式
為：
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n+……
導(dǎo)數(shù)基本公式
(x^n)'=nx^(n-1)
(lnx)'=1/x
(logx)'=1/(xlna)
(e^x)'=e^x
(a^x)'=(a^x)lna
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec2x
(cotx)'=-csc2x
(cscx)'=-cscxcotx
(secx)'=secxtanx
(arcsinx)'=1/√(1-x2)
(arccosx)'=-1/√(1-x2)
(arctanx)'=1/(1+x2)
(arccotx)'=-1/(1+x2)
(arccscx)'=-1/√[x(x2-1)]
(arcsecx)'=1/√[x(x2-1)]
微分基本公式跟導(dǎo)數(shù)基本公式差不多,只不過是dx^n=nx^(n-1)dx這樣
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